Question

如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC₁的中點．
（1）求異面直線A₁D與BC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求直線A₁B₁到平面DAB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求向量的夾角來求異面直線所成的角；或通過作平行線，再解三角形求解；
（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化思想，線面距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，再利用三棱錐的換底性求解．
解答：解：（1）方法一：
以A₁B₁中點O為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意得
則
設(shè)θ為向量的夾角，，
∴異面直線A₁D與BC所成角的大小為arccos．
方法二：取B₁B中點E，連結(jié)A₁E，DE．∵DE∥CB
∴∠A₁DE為異面直線A₁D與BC所成的角．
在Rt△A₁B₁E中，；在Rt△A₁C₁D中，；
．
∴異面直線A₁D與BC所成角的大小為arccos．
（2）∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁∥平面ABD，
∴A₁B₁到平面DAB的距離即為A₁到平面DAB的距離，設(shè)為h．
由題意得，
等腰△ADB底邊AB上的高為，，則，
且D到平面ABB₁A₁的距離為，
由得
×S_△ABD•h=××，
∴，
∴直線A₁B₁到平面DAB的距離為．
點評：本題考查異面直線所成的角及線面距離問題．