Question

已知點A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長軸的左、右端點，點C是橢圓短軸的一個端點，且離心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

（1）求橢圓方程；
（2）設直線l經過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于P、Q兩點，求線段PQ的中點到原點的距離等于

1

2

|PQ|時的直線方程．

Answer 1

（1）∵橢圓的離心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

∴

c a = 6 3 1 2 ×2a×b= 3

∴a=

3

，b=1，c=

2

∴所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=

2

，代入橢圓方程，可得y=±

3

3

，∴|PQ|=

2 3

3

而線段PQ的中點到原點的距離等于

2

，不合題意；
當直線l的斜率存在時，l的方程為y=k（x-

2

），則OP⊥OQ
直線方程與橢圓方程聯立，可得（1+3k²）x²-6

2

k2x+6k²-3=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6 2 k2

1+3k2

，x₁x₂=

6k2-3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=

5k2-3

1+3k2

=0
∴k=±

15

5

∴直線l的方程為y=

15

5

（x-

2

）或y=-

15

5

（x-

2

）．