Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點．已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零．
（1）求向量

AB

的坐標；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程；
（3）是否存在實數a，使拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出要求的向量的坐標，根據所給的模長的關系和直角三角形兩條直角邊垂直的關系，寫出關于向量坐標的關系式，解方程，舍去不合題意的結果，得到向量的坐標．
（2）要求圓關于直線的對稱圓，只要求出圓心關于直線的對稱點即可，本題需要先根據向量的坐標求出點B的坐標，從而求出直線的方程，通過計算得到結果．
（3）設出拋物線上關于直線的對稱的兩個點，兩個點的中點在直線上且兩點連線與已知直線垂直，寫出所設的點的關系，構造一元二次方程，根據方程有解用判別式得到結果．

解答：解：（1）設

AB

={u，v}，
則由|

AB

|=2|

OA

|，

AB

•

OA

=0
即

u2+v2=100 4u-3v=0

得

u=6 v=8

，或

u=-6 v=-8

．
∵

OB

=

OA

+

AB

={u+4，v-3}，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴

AB

={6，8}；
（2）由

OB

={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：y=

1

2

x．
由條件可知圓的標準方程為：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為

10

．
設圓心（3，-1）關于直線OB的對稱點為（x，y）
則

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

，
得

x=1 y=3

，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關于直線OB對稱兩點，
則

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x1-x2 =-2

，
得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂為方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的兩個相異實根，
于是由△=

4

a2

-4•

5-2a

2a2

＞0，
得a＞

3

2

．
∴當a＞

3

2

時，拋物線y=ax²-1上總有關于直線OB對稱的兩點．

點評：本題是近幾年高考常考的問題，向量是數形結合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數問題，好多問題都是以向量為載體的