Question

如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，底面。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若直線PC與平面PDE所成角為，求三棱錐高的大小。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由線線垂直得到線面垂直CD⊥平面PAC，進而求證出面面垂直；（Ⅱ）由已知條件求出S_△PCD和S_△BCD，再利用等體積法求出三棱錐B-PCD的高.
試題解析：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，CD⊥AC．
因為PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA． 
又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．
因為CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）直線PC與底面ABCDEF所成的角∠PCA＝45°．
在Rt△PAC中，AC＝，所以PA＝，PC＝，
即三棱錐P-BCD的高為，
S_△PCD＝PC·CD＝，S_△BCD＝BC·CD sin120°＝，
設三棱錐B-PCD高為h，由V_P-BCD＝V_B-PCD，得：
S_△BCD·PA＝S_△PCD·h，
經計算可得：h＝，
所以三棱錐B-PCD高為．