Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）要最小．
（1）求外周長的最小值，此時防洪堤高h為多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范圍內，外周長最小為多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用梯形的面積公式將梯形的上底、下底用h表示；將梯形周長用h表示；利用基本不等式求出周長的最小值．
（2）利用函數單調性的定義判斷出函數的單調性；利用函數的單調性求出周長的最小值．
解答：解：（1），AD=BC+2×hcot60°=BC+，，解得．
設外周長為l，則=；
當，即時等號成立．外周長的最小值為米，此時堤高h為米．
（2），設，
則=，l是h的增函數，
∴（米）．（當h=3時取得最小值）．
點評：將實際問題轉化為函數模型、利用基本不等式求函數的最值注意需滿足：一正、二定、三相等；
利用函數單調性的定義判斷函數的單調性、利用函數的單調性求函數的最值．