Question

【題目】在三棱錐中， ， 為的中點， 平面，垂足落在線段上，已知.

（1）證明： ；

（2）在線段上是否存在一點，使得二面角為直二面角？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：⑴對于法一，易得因為平面，推導出，再推導出平面，即可得到答案；對于法二，以為原點，分別以過點與共線同向的向量， ， 方向上的單位向量為單位正交基建立空間直角坐標系，易求得幾何體中各個頂點的坐標，求出， 的坐標，要證明，即證明

⑵要求滿足條件使得二面角為直二面角的點，即求平面的法向量和平面的法向量互相垂直，由此求出點的坐標，然后根據空間兩點之間的距離公式即可求出的長；

解析：（1）法一：∵, 為的中點，

∴，

∵平面，

∴，

∵垂足落在線段上，

∴平面，

∴.

法二：如圖，以為原點，分別以過點與共線同向的向量， ， 方向上的單位向量為單位正交基建立空間直角坐標系，則

∴

∴

∴

（2）假設點存在，設， ，則，

∴，

∴，

∴，

∴

設平面的法向量為，平面的法向量為

由得，

令，可得，

由得，

令，可得，

若二面角為直二面角，則，得，

解得，∴

故線段上是否存在一點，滿足題意， 的長為.