Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱錐Q­ABCD的體積與棱錐P­DCQ的體積的比值．

Answer 1

(1)祥見解析； (2)１．

試題分析：(1)要證直線與平面垂直，只須證明直線與平面內的兩條相交直線垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交線為AD，又因為四邊形ABCD為正方形，由面面垂直的性質可得DC⊥平面PDAQ，從而有PQ⊥DC，又因為PD∥QA，且QA＝AB＝PD ，所以四邊形PDAQ為直角梯形，利用勾股定理的逆定理可證PQ⊥QD；從而可證 PQ⊥平面DCQ；(2)設AB＝a，則由(1)及已知條件可用含a的式子表示出棱錐Q－ABCD的體積和棱錐P－DCQ的體積從而就可求出其比值．
試題解析：(1)證明：由條件知PDAQ為直角梯形．
因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，
則PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)設AB＝a.由題設知AQ為棱錐Q­ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V₁＝a³.
由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a²，
所以棱錐P－DCQ的體積V₂＝a³.
故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1.