Question

（2012•昌平區二模）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E為AD中點，F為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥D₁F；
（Ⅱ）求證：CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ） 求平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AD⊥CD，AD⊥DD₁，可得AD⊥平面CDD₁C₁，從而可得AD⊥D₁F；
（Ⅱ）連接A₁D，交AD₁于點M，連接ME，MF，則M為AD₁中點，利用三角形中位線性質，可得線線平行，可得四邊形CEMF是平行四邊形，從而可得CE∥MF，利用線面平行的判定，可得CE∥平面AD₁F；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，確定平面ABCD的法向量為

DD1

=(0，0，2)，平面AD₁F的法向量

n

=（2，1，1），利用向量的夾角公式，即可求得平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵DD₁⊥平面ABCD，AD?平面ABCD
∴AD⊥DD₁
∵DD₁∩CD=D，∴AD⊥平面CDD₁C₁
∵D₁F?平面CDD₁C₁，∴AD⊥D₁F…（4分）
（Ⅱ）證明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接A₁D，交AD₁于點M，連接ME，MF，則M為AD₁中點．
∵E為AD中點，F為CC₁中點．
∴ME∥DD1，ME=

1

2

DD1…（6分）
又∵CF∥DD1，CF=

1

2

DD1
∴四邊形CEMF是平行四邊形，∴CE∥MF…（8分）
∵CE?平面AD₁F，MF?平面AD₁F，∴CE∥平面AD₁F．…（9分）
（Ⅲ）解：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），F（0，1，1）…（10分）
∴平面ABCD的法向量為

DD1

=(0，0，2)…（11分）
設平面AD₁F的法向量為

n

=（x，y，z）．
∵

AF

=(-1，1，1)，

AD1

=(-1，0，2)，則有

n• AF =0 n• AD1 =0.

∴

-x+y+z=0 -x+2z=0.

取z=1，得

n

=（2，1，1）．
∴cos＜n，

DD1

＞=

n • DD1

| n || DD1 |

=

2

2 6

=

6

6

．…（13分）
∵平面AD₁F與平面所成二面角為銳角．
∴平面AD₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值為

6

6

．…（14分）

點評：本題考查線面位置關系，考查線面垂直、線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確運用空間向量解決面面角問題，屬于中檔題．