Question

下列幾個命題：
①函數y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數，但不是奇函數；
②“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③設函數y=f（x）定義域為R，則函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于y軸對稱；
④若函數y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

．
其中正確的有

②④

．

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義，判斷出函數y=

x2-1

+

1-x2

的奇偶性，可判斷①；根據二次函數的圖象和性質，分析二次不等式恒成立的充要條件，可判斷②；根據函數對稱變換法則，求出函數y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱圖象對應的解析式，可判斷③；根據余弦函數的奇偶性，求出φ值，可判斷④；根據正弦函數的圖象和性質，結合對勾函數的圖象和性質，可判斷⑤

解答：解：函數y=

x2-1

+

1-x2

的定義域A={-1，1}，當x∈A時，函數f（x）=0恒成立，故f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）均成立，則函數即是奇函數，又是偶函數，故①錯誤；
“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件是“

a＞0 △=b2-4ax≤0

”，故②正確；
函數y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱圖象對應的解析式為y=f（1+x），故③錯誤；
若函數y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數，則cosφ=0，故φ=

π

2

+kπ（k∈Z），故④正確；
令t=sinx，則x∈（0，π）時，t∈（0，1]，則y=t+

2

t

，由y=t+

2

t

，在區間（0，1]為減函數，故當t=1時，函數取最小值3，故⑤錯誤
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數的奇偶性，對稱變換，單調性等知識點，是函數圖象和性質的綜合應用，難度較大．