Question

我們把離心率為e=

5 +1

2

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0）稱為黃金雙曲線．給出以下幾個說法：
①等軸雙曲線不是黃金雙曲線；
②雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1是黃金雙曲線；
③若b²=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，若∠F₁B₁A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

分析：對于①②求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于③通過a，b，c的關系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于④通過∠F₁B₁A₂=90°，轉化為a，b，c的關系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；

解答：解：①等軸雙曲線的離心率是

2

，故不是黃金雙曲線，即①正確；
②由雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1，可得離心率e=

1+ 5 +1 2

=

5 +1

2

，故該雙曲線是黃金雙曲線，即②正確；
③∵b²=ac，∴c²-a²-ac=0，化為e²-e-1=0，又e＞1，解得e=

5 +1

2

，因此該雙曲線是黃金雙曲線，即③正確；
④∵∠F₁B₁A₂=90°，∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化為c²-ac-a²=0，由③可知該雙曲線是黃金雙曲線；
故答案為：①②③④．

點評：本題考查雙曲線的基本性質，a，b，c的關系，離心率的求法，考查計算能力．