Question

已知，，數(shù)列滿足，

， ．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）當(dāng)n取何值時(shí)，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又，可知對任何，，

所以．

        ∵，

      ∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

        ．

         當(dāng)n=7時(shí)，，；

         當(dāng)n<7時(shí)，，；

         當(dāng)n>7時(shí)，，．

∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，取最大值，最大值為．

  （III）由，得       （*）

        依題意（*）式對任意恒成立，

        ①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．

　　　　　②當(dāng)t<0時(shí)，由，可知（）．

　　　　　　而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因此t<0不合題意．

　　　　　③當(dāng)t>0時(shí)，由（）,

∴　∴．    （）

　　　　　　設(shè)     （）

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值為．

　　　　　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．