Question

對于函數f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2，其中a為實常數，已知函數y=f（x）的圖象在點（-1，f（-1））處的切線與y軸垂直．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（3^x）=m有三個不等實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，令x=1求出f′（1）的值，再將（1，-2）代入f（x）求出m的值；求出g′（x）令其x=1求出g′（1）=0求出a值；求出g′（x）=0的根，判斷出根左右兩邊的符號，求出極小值．
（2）先得出f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2．再利用導數研究其單調性及極值，從而得出函數y=f（x）的大致圖象，令3^x=t（t＞0），若關于x的方程f（3^x）=m有三個不等實根，則關于t的方程f（t）=m在（0，+∞）上有三個不等實根，即函數y=f（t）的圖象與直線y=m在（0，+∞）上有三個不同的交點．最后由圖象可知m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-x³+2x²+2ax-2．                   （1分）
據題意，當x=-1時f（x）取極值，所以f′（-1）=0．              （2分）
因為f′（-1）=-（-1）³+2×（-1）²+2a×（-1）-2=1-2a．
由1-2a=0，得a=

1

2

．  （4分）
（2）因為a=

1

2

，則f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2．
所以f′（x）=-x³+2x²+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2）．
由f′（x）＞0，得（x-1）（x+1）（x-2）＜0，即x＜-1或1＜x＜2．
所以f（x）在區間（-∞，-1），（1，2）上單調遞增，
在區間（-1，1），（2，+∞）上單調遞減．（6分）
所以f（x）的極大值為f(-1)=-

5

12

，f(2)=-

8

3

，
極小值為f(1)=-

37

12

．      （7分）
由此可得函數y=f（x）的大致圖象如下：（8分）
令3^x=t（t＞0），若關于x的方程f（3^x）=m有三個不等實根，
則關于t的方程f（t）=m在（0，+∞）上有三個不等實根，
即函數y=f（t）的圖象與直線y=m在（0，+∞）上有三個不同的交點．
又f(0)=-2＞-

8

3

，由圖象可知，-

37

12

＜m＜-

8

3

，
故m的取值范圍是(-

37

12

，-

8

3

)．                        （9分）

點評：本題考查曲線的切線問題時，常利用的是切線的導數在切點處的導數值為切線的斜率；解決函數的極值問題唯一的方法是利用導數．