Question

已知函數f（x）=16ln（1+x）+x²-10x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據對數函數的定義求出f（x）的定義域，并求出f′（x）=0時x的值，在定義域內，利用x的值討論f′（x）的正負即可得到f（x）的單調區間；
（2）根據第一問函數的增減性得到函數的極大值為f（1）和極小值為f（3），然后算出x→-1⁺時，f（x）→-∞；x→+∞時，f（x）→+∞；據此畫出函數y=f（x）的草圖，由圖可知，y=b與函數f（x）的圖象各有一個交點，即滿足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
f′(x)=

16

1+x

+2x-10=

2x2-8x+6

x+1

=

2(x-1)(x-3)

x+1

令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-1，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

f（x）的增區間是（-1，1），（3，+∞）；減區間是（1，3）．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上單調遞增，在（3，+∞）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減．
∴f（x）_極大=f（1）=16ln2-9，f（x）_極小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1⁺時，f（x）→-∞；x→+∞時，f（x）→+∞；
可據此畫出函數y=f（x）的草圖（如圖），由圖可知，
當直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點時，
當且僅當f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）

點評：本題要求學生會利用導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的極值，是一道綜合題．