Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形為等腰梯形， ， ， ，四邊形為正方形，平面平面.

（1）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：

（1）要證線面平行，一般先證線線平行，由是中點(diǎn)及其他已知可證與平行且相等，從而得平行四邊形，也就有線線平行，從而得線面平行；

（2）由已知證得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平行的法向量，由直線的方向向量與平面法向量夾角余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦值可得結(jié)論．

試題解析：

（1）證明：由已知得// ，且.

因?yàn)?/span>為等腰梯形，所以有// .

因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，所以．

所以// ，且，

故四邊形為平行四邊形,

所以// .

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以//平面．

解：（2）因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面， 平面，

所以平面.

在△中，因?yàn)?/span>， ，

所以由余弦定理，得，

所以．

在等腰梯形中，可得.

如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為

軸， 建立空間坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ，

所以， ， .

設(shè)平面的法向量為，由

所以，取，則，得．

設(shè)直線與平面所成的角為，

則

所以與平面所成的角的正弦值為.