Question

如圖，已知棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯  形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=PB=BC=1，
AB=2，且PB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）試在棱PB上求一點M，使CM∥平面PDA；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，求三棱錐P-ADM的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PB得中點M，則有CM∥平面PDA，證明如下：取AB中點N，則MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，所以MN∥平面PDA．由題意得四邊形ANCD是平行四邊形，所以CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，所以CN∥平面PDA，所以平面MCN∥平面PDA，∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M為PB的中點，則V_P-ADM=V_B-ADM，在△ABD中，AB-2，AB邊上的高h=BC=1，∴s△ABD=

1

2

•AB•h=1
BM=

1

2

，所以三棱錐P-ADM的體積是

1

6

．

解答：解：（Ⅰ）取PB得中點M，則有CM∥平面PDA，證明如下：
取AB中點N，則MN∥PA，PA?平面PDA，MN?平面PDA，
∴MN∥平面PDA
連接CN，則AN∥CD且AN=CD=1，
∴四邊形ANCD是平行四邊形
∴CN∥AD，AD?平面PDA，CN?平面PDA，
∴CN∥平面PDA
又MN∩CN=N，∴平面MCN∥平面PDA，CM?平面MCN
∴CN∥平面PDA．
（Ⅱ）由（Ⅰ）：M為PB的中點，則V_P-ADM=V_B-ADM
在△ABD中，AB-2，AB邊上的高h=BC=1，
∴s△ABD=

1

2

•AB•h=1
BM=

1

2

，∴VM-ABD =

1

3

•BM•S△ABD=

1

6

所以三棱錐P-ADM的體積是

1

6

．

點評：解決探索性問題應該先利用代點檢驗的方法找到點，一般是線段的端點或線段的中點，求三棱錐的體積時當三棱錐的高與底面積不易求時，應該根據條件判斷是否存在于已知三棱錐體積相等的三棱錐．