Question

如圖所示，平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩
兩夾角為60°.
(1)求AC₁的長；
（2）求BD₁與AC夾角的余弦值.

Answer 1

(1) AC₁的長為 (2) AC與BD₁夾角的余弦值為

記=a，=b，=c，
則|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
（1）||²=（a+b+c）²
=a²+b²+c²+2（a·b+b·c+c·a）
=1+1+1+2×(++)=6,
∴||=,即AC₁的長為.
(2)=b+c-a,=a+b,
∴||=,||=,
·=（b+c-a）·（a+b）
=b²-a²+a·c+b·c=1.
∴cos〈,〉==.
∴AC與BD₁夾角的余弦值為.