Question

如圖，設△OEP的面積為S，已知

OF

• 

FP

=1．
（1）若

1

2

＜S＜

3

2

，求向量

OF

與

FP

 的夾角θ的取值范圍；
（2）若S=

3

4

|

OF

|，且|

OF

|≥2，當|

OP

|取最小值時，建立適當的直角坐標系，求以O為中心，F為一個焦點且經過點P的橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令 ＜

OF

，

FQ

＞=θ，由題設知 |

OF

| |

FQ

| =

1

cosθ

，S=

1

2

tanθ，∵

1

2

＜S＜

3

2

，∴1＜tanθ＜

3

，由此可求出 ＜

OF

，

FQ

＞的范圍．．
（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），由題設知

OF

•

FQ

=c(m-c)=1.m=c+

1

c

，Q(c+

1

c

，

3

2

)．由此知 |

OQ

|2 =(c+

1

c

)2+

9

4

，由此入手，當 |

OQ

|取最小值時，能夠求出橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）令 ＜

OF

，

FQ

＞=θ，
∵

OF

•

FQ

=1，∴|

OF

| |

FQ

| cosθ=1，∴|

OF

| |

FQ

| =

1

cosθ

，
∵S=

1

2

|

OF

| |

FQ

| sin(π-θ)=

1

2

|

OF

| |

FQ

| sinθ，
∴S=

1

2

tanθ，∵

1

2

＜S＜

3

2

，∴1＜tanθ＜

3

，
∵θ∈[0，π]，∴

π

4

＜θ＜

π

3

．

（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），
且

S= 1 2 cn S= 3 4 c

，∴n=

3

2

．
∵

OF

=(c，0)，

FQ

=(m-c，n)，
∴

OF

•

FQ

=c(m-c)=1．
∴m=c+

1

c

，∴Q(c+

1

c

，

3

2

)．
∴|

OQ

|2 =(c+

1

c

)2+

9

4

，
∵c≥2，
∴當c=2時，|

OQ

|最小，此時Q（

5

2

，

3

2

），
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴

c2=4=a2-b2 ( 5 2 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1

，
∴a²=10，b²=6．
∴所求橢圓為

x2

10

+

y2

6

=1．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．