Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a=4時，給出兩類直線：6x+y+m=0與3x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷這兩類直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出相應的m或n的值，若不存在，說明理由．
（3）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x，h（x））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x時，若在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由==，能求出當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）a=4，f′（x）=2x+，故≥4-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
（3），令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴==，
∵a＞2，∴．
當0＜x＜1及x＞時，f′（x）＞0．當1＜x＜時，f′（x）＜0，
∴f（x）的增區間是（0，1），（）．
（2）a=4，f′（x）=2x+，
∵x＞0，∴≥4-6，
不存在6x+y+m=0這類直線的切線．
由得與x=4，當時，求得．
當x=4時，求得n=4ln4-20．
（3），
令h（x）=f（x）-g（x）=•（x-x）-（），
則h（x）=0，
-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-），
當時，h（x）在（x，）上單調遞減．
∴x∈（）時，h（x）＜h（x）=0，從而有x∈（）時，＜0，
當時，h（x）在（）上單調遞減，
∴x∈（）．
h（x）＞h（x）=0．從而有時，＜0．
∴在上不存在“類對稱點”．
當x=時，，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數，故＞0，
x=是一個類對稱點的橫坐標．
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查類對稱點的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意導數性質的靈活運用．