Question

設函數，為正整數，為常數，曲線在處的切線方程為。

（1）求的值；     （2）求函數的最大值；      （3）證明：。

 

Answer 1

【答案】

（1）    （2）

（3）見解析

【解析】（1）因為，由點在上，可得

因為，所以

又因為切線的斜率為，所以，所以

（2）由（1）可知，

令，即在上有唯一的零點。

在上，，故單調遞增；而在上，，單調遞減，故在的最大值為。

（3）令，則

在上，，故單調遞減，而在上，，單調遞增，

故在上的最小值為，所以即，令，得，即所以，即由（2）知，，故所證不等式成立。

【點評】本題考查多項式函數的求導，導數的幾何意義，導數判斷函數的單調性，求解函數的最值以及證明不等式等的綜合應用.考查轉化與劃歸，分類討論的數學思想以及運算求解的能力. 導數的幾何意義一般用來求曲線的切線方程，導數的應用一般用來求解函數的極值，最值，證明不等式等. 來年需注意應用導數判斷函數的極值以及求解極值，最值等；另外，要注意含有等的函數求導的運算及其應用考查