Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分別是BB₁、CC₁的中點，M是DE的中點．
（1）求證：平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）試問能否在線段AC₁上找一點N，使得直線MN與平面ADA₁平行？請說明理由；
（3）求三棱錐A₁-ADE的體積．

Answer 1

分析：（1）證明平面ADE⊥平面AMA₁，需證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，由M為DE的中點，可由已知條件得到AD=AE，A₁D=A₁E，由線面垂直的判定得到DE⊥平面A₁AM，從而由面面垂直的判定得到結論；
（2）由M為DE的中點，可猜測取N為AC₁中點，連結BC₁后由三角形的中位線的性質得到直線MN與平面ADA₁平行；
（3）借助于等積法把三棱錐A₁-ADE的體積轉化為三棱錐D-A₁AE的體積求解．

解答：（1）證明：如圖，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=AC=1，且D、E分別是BB₁、CC₁的中點，
∴可得AD=AE，A₁D=A₁E，又M是DE的中點，
∴AM⊥DE，A₁M⊥DE，又AM∩A₁M=M，
∴DE⊥平面A₁AM，而DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）解：N為AC₁中點時，直線MN與平面ADA₁平行．
事實上，連結BC₁，則M∈BC₁，
M是BC₁的中點，N為AC₁的中點，
∴MN∥AB，又AB?ADA₁，MN?ADA₁，
∴直線MN與平面ADA₁平行；
（3）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，∴AB⊥平面A₁AE．
即AB的長度為D到平面A₁AE的距離，而S△A1AE=

1

2

AC•AA1=

1

2

×1×2=1．
∴VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

S△A1AE•AB=

1

3

×1×1=

1

3

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了平面與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求棱錐的體積，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．