Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，2Sn+2n＝an+1﹣2，a2＝8，其中n∈N*.

（1）記bn＝an+1，求證：{bn}是等比數列；

（2）設為數列{cn}的前n項和，若不等式k＞Tn對任意的n∈N*恒成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求得首項，運用數列的遞推式，結合等比數列的定義，即可得證；

（2）運用等比數列的通項公式，可得c()n，由數列的錯位相減法可得 ，結合不等式恒成立思想可得k的范圍．

(1)證明： ，

n＝1時，，解得a1＝2，

n≥2時，可得，

兩式相減可得，

即有 ，

可得 ，

即有{bn}是首項和公比為3的等比數列；

(2)cn，

＝12n，

n＝12n+1，

兩式相減可得n﹣nn+1

n+1，

化簡可得，

可得，

不等式kTn對任意的n∈N*恒成立，可得.