Question

（2012•馬鞍山二模）定義在R上的函數f（x）滿足f(x+

3

2

)+f(x)=0，且函數y=f(x-

3

4

)為奇函數，給出下列命題：①函數f（x）的最小正周期是

3

2

；②函數y=f（x）的圖象關于點(-

3

4

，0)對稱；③函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．其中真命題的個數是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：題目中條件：f（x+

3

2

）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數圖象的對稱性，及函數圖象的平移變換，可得函數的對稱中心，結合這些條件可探討函數的奇偶性，從而可判斷函數的對稱軸．

解答：解：①：由題意可得f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）則函數f（x）是周期函數且其周期為3，故①錯誤
②：由y=f（x-

3

4

）是奇函數可得其圖象關于原點（0，0）對稱，由y=f（x-

3

4

）向左平移

3

4

個單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數f（x）的圖象關于點（-

3

4

，0）對稱，故②正確
③：由②知，對于任意的x∈R，都有f（-

3

4

-x）=-f（ -

3

4

+x），用

3

4

+x代換x，可得：f（-

3

2

-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）對于任意的x∈R都成立．令t=

3

2

+x，則f（-t）=f（t），則可得函數f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱，故③正確
故選：B．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性對稱性等函數知識的綜合應用，解答本題的關鍵是熟練掌握函數的基本性質及一些常見結論的變形．