Question

（文）已知數列{a_n}的通項公式為an=3n，集合A={y|y=ai ， i≤100 ， i∈N*}，B={y|y=4m+1，m∈N^*}．現在集合A中隨機取一個元素y，則y∈B的概率為

1

2

．

Answer 1

分析：y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．當i=2k，k∈N^*時，y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C

0 k

8^k+C

1 k

8^k-1+…+C

k-1 k

8+C

k k

=4×2（C

0 k

8^k-1+C

1 k

8^k-2+…+C

k-1 k

）+1，故y∈B．由此能求出在集合A中隨機取一個元素y，則y∈B的概率．

解答：解：設y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．
當i=2k，k∈N+時，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C

0 k

8^k+C

1 k

8^k-1+…+C

k-1 k

8+C

k k

=4×2（C

0 k

8^k-1+C

1 k

8^k-2+…+C

k-1 k

）+1，
∴y∈B．
∵y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．
∴1≤2k≤100，

1

2

≤k≤50，k∈N*，
∴滿足條件的k有50個，
∴在集合A中隨機取一個元素y，則y∈B的概率為

50

100

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查等比數列的通項公式的應用，解題時要認真審題，注意二項式定理的合理運用．