Question

已知直線l過橢圓E：x²+2y²=2的右焦點F，且與E相交于P，Q兩點．
（1）設

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)（O為原點），求點R的軌跡方程；
（2）若直線l的傾斜角為60⁰，求

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

Answer 1

分析：（1）可設直線l的方程為y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量關系式即可求得R的軌跡方程；
（2）設橢圓另一個焦點為F'，在△PF'F中由余弦定理m的值，同理，在△QF'F，設|QF|=n，也由余弦定理得n的值，最后即可求得

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

解答：解：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y）

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)?(x，y)=

1

2

[(x1，y1)+(x2，y2)]?

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

由x2+2y2=2?

x2

2

+y2=1，易得右焦點F（1，0）
當直線l⊥x軸時，直線l的方程是：x=1，根據對稱性可知R（1，0）
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=k（x-1）
代入E有（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0△=8k²+8＞0；x1+x2=

4k2

2k2+1

（5分）
于是R（x，y）：x=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

；　y=k（x-1）
消去參數k得x²+2y²-x=0而R（1，0）也適上式，故R的軌跡方程是x²+2y²-x=0
（2）設橢圓另一個焦點為F'，
在△PF'F中∠PFF'=120⁰，|F'F|=2，設|PF|=m，則|PF′|=2

2

-m
由余弦定理得(2

2

-m)2=22+m2-2•2•m•cos1200?m=

2

2 2 +1

同理，在△QF'F，設|QF|=n，則|QF′|=2

2

-m
也由余弦定理得(2

2

-n)2=22+n2-2•2•n•cos600?n=

2

2 2 -1

于是

1

|PF|

+

1

|QF|

=

1

m

+

1

n

=

2 2 +1

2

+

2 2 -1

2

=2

2

點評：本題考查橢圓的長軸和短軸的長，焦點的坐標的求法、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．