Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別為BC與A₁D₁的中點，
（1）求直線A₁C與DE所成的角；
（2）求直線AD與平面B₁EDF所成的角；
（3）求面B₁EDF 與 面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）在平面ABCD內，過C作CP∥DE交直線AD于P，則∠A₁CP（或補角）為異面直線A₁C與DE所成的角，在△A₁CP中，利用余弦定理，即可求得異面直線A₁C與DE所成的角；
（2）證明直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直線AD與平面B₁EDF所成的角；
（3）連接EF、B₁D，交于點O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足為M，連接OM，則可得∠OMH為面B₁EDF 與 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函數，即可求得面B₁EDF 與 面ABCD所成的角．

解答：解：（1）如圖，在平面ABCD內，過C作CP∥DE交直線AD于P，則∠A₁CP（或補角）為異面直線A₁C與DE所成的角
在△A₁CP中，A₁C=

3

a，CP=DE=

5 a

2

，A₁P=

13

2

a
∴cos∠A₁CP=

3a2+ 5 4 a2- 13 4 a2

2× 3 a× 5 a 2

=

15

15

∴異面直線A₁C與DE所成的角為arccos

15

15

；
（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B₁EDF內的射影在∠EDF的平分線上，而四邊形B₁EDF是菱形
∴DB₁為∠EDF的平分線
∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁．
在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=

2

a，B₁D=

3

a，
∴cos∠ADB₁=

a2+3a2-2a2

2×a× 3 a

=

3

3

∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為arccos

3

3

；
（3）連接EF、B₁D，交于點O，顯然O為B₁D的中點，從而O為正方體的中心，作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心
作HM⊥DE，垂足為M，連接OM，則OM⊥DE，故∠OMH為面B₁EDF與面ABCD所成的角．
在直角△DOE中，OE=

2

2

a，OD=

3 a

2

，DE=

5

2

a
則由面積關系可得OM=

OD×OE

DE

=

30

10

a
在直角△OHM中，sin∠OMH=

OH

OM

=

30

6

∴面B₁EDF與面ABCD所成的角為arcsin

30

6

點評：本題考查線線角、線面角、面面角，解題的關鍵是正確作出空間角，并在具體三角形中，利用余弦定理求出相應的角，屬于中檔題．