Question

已知一列非零向量

an

，n∈N^*，滿足：

a1

=（10，-5），

an

=(xn，yn)=k(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)，（n³2 ）．，其中k是非零常數．
（1）求數列{|

an

|}是的通項公式；
（2）求向量

an-1

與

an

的夾角；（n≥2）；
（3）當k=

1

2

時，把

a1

，

a2

，…，

an

，…中所有與

a1

共線的向量按原來的順序排成一列，記為

b1

，

b2

，…，

bn

，…，令

OBn

=

b1

+

b2

+…+

bn

，O為坐標原點，求點列{B_n}的極限點B的坐標．（注：若點坐標為（t_n，s_n），且

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

sn=s，則稱點B（t，s）為點列的極限點．）

Answer 1

分析：（1）由題意得出

| an |

| an-1 |

=

2

|k|，從而{|

an

|}是首項為5

5

公比為

2

|k|的等比數列．利用等比數列的通項公式即可求得
數列{|

an

|}是的通項公式；
（2）由向量的數量積公式得：

an

•

an-1

=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）=k（x_n-1²+y_n-1²）=k|

an-1

|2．
從而求得cos＜

an

，

an-1

＞下面分兩種情形：當k＞0時，當k＜0時，求得向量

an-1

與

an

的夾角即可；
（3）當k=

1

2

時，由（2）知：4＜

an

，

an-1

＞=p，由于每相隔3個向量的兩個向量必共線，且方向相反，得到與向量

a1

共線的向量，記

an

的單位向量為

ano

，利用條件求得

OBn

=(tn，sn)，最后利用等比數列的求和公式結合數列的極限即可求得點列{B_n}的極限點B的坐標．

解答：解：（1）|

an

|=

x 2 n + y 2 n

=

k2[(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2]

（2分）
=

2

|k|

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

|k||

an-1

|，（n≥2），
∴

| an |

| an-1 |

=

2

|k|≠0，|

a1

|=5

5

．
∴{|

an

|}是首項為5

5

公比為

2

|k|的等比數列．
∴

an

=5

5

（

2

|k|）^n-1（2分）
（2）

an

•

an-1

=k（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）•（x_n-1，y_n-1）
=k（x_n-1²+y_n-1²）=k|

an-1

|2．
∴cos＜

an

，

an-1

＞=

k| an-1 |2

| an || an-1 |

=

2 2 k＞0 - 2 2 k＜0

，（2分）
∴當k＞0時，＜

an

，

an-1

＞=

π

4

，
當k＜0時，＜

an

，

an-1

＞=

3π

4

．（2分）
（3）當k=

1

2

時，由（2）知：4＜

an

，

an-1

＞=p，
∴每相隔3個向量的兩個向量必共線，且方向相反，
∴與向量

a1

共線的向量為：{

a1

，

a5

，

a9

，

a13

，}
={

b1

，

b2

，

b3

，

b4

}，（2分）
記

an

的單位向量為

ano

，則

a1

=|

a1

|

a10

，
則

an

=|

an

|

ano

=|a₁|（

2

|k|）^n-1

ano

bn

=

a4n-3

=|a₁|（

2

|k|）^4n-4（-1）^n-1

a10

=

a1

（-4|k|⁴）^n-1=（10，-5）（-

1

4

）^n-1（2分）
設

OBn

=(tn，sn)，
則t_n=10[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2++(-

1

4

)n-1]=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

，
∴

lim

n-∞

tn=8，

lim

n-∞

sn=-5

1

1-(- 1 4 )

=-4．
∴點列{B_n}的極限點B的坐標為（8，-4）．（2分）

點評：本小題主要考查等比數列的通項公式、數量積表示兩個向量的夾角、數列的極限等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．