Question

在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)這個圓柱的高為h，可得這個圓柱的體積V=π（-h³+R²h）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得V在（0，R）上是增函數(shù)，在（R，R）上是減函數(shù)，由此可得當h=R時，圓柱的體積的最大值是πR²．
解答：解：設(shè)這個圓柱的高為h，底面半徑為r，可得
h²+r²=R²，所以r=
∴這個圓柱的體積V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+R）（h-R）
V'＞0，得h＜R； V'＜0，得h＞R
∴V在（0，R）上是增函數(shù)，在（R，R）上是減函數(shù)
因此，當h=R時，圓柱的體積的最大值V_max=π[-（R）³+R²×R）=πR²
故選：A
點評：本題給出半球，求其內(nèi)接圓柱的體積最大值，著重考查了球內(nèi)接多面體、圓柱體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題．