Question

（2013•昌平區一模）已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，離心率為

2

2

，且拋物線y2=4

2

x的焦點是橢圓M的一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓M相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點P在橢圓M上，O為坐標原點．求點O到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，易求橢圓的焦點，從而可得c值，由離心率可得a，由b²=a²-c²可求得b值；
（Ⅱ）分情況進行討論：當直線l存在斜率時設直線方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，設A、B、P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
由四邊形OAPB為平行四邊形及韋達定理可把x₀，y₀表示為k，m的式子，代入橢圓方程關于k，m的方程，從而利用點到直線的距離公式點O到直線l的距離為k的函數，根據函數結構特點即可求得其最小值；當直線l不存在斜率時點O到直線l的距離易求，綜上即可得到答案．

解答：解：（I）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知拋物線的焦點為（

2

，0），則c=

2

，由e=

2

2

，得a=2，∴b²=2，
所以橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）當直線l斜率存在時，設直線方程為y=kx+m，
則由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（2+4k²-m²）＞0，①
設A、B、P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則：x₀=x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

，
由于點P在橢圓M上，所以

x02

4

+

y02

2

=1．
從而

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化簡得2m²=1+2k²，經檢驗滿足①式．
又點O到直線l的距離為：
d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

=

1- 1 2(1+k2)

≥

1- 1 2

=

2

2

，當且僅當k=0時等號成立，
當直線l無斜率時，由對稱性知，點P一定在x軸上，
從而點P的坐標為（-2，0）或（2，0），直線l的方程為x=±1，所以點O到直線l的距離為1．
所以點O到直線l的距離最小值為

2

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想、函數思想，韋達定理、判別式解決該類題目的基礎，要熟練掌握．