Question

【題目】設函數，其中為自然對數的底數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若，，求證：無零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求導，根據的正負解得x的范圍，得出f（x）的單調性；

（2）令h（x）為g′（x）的分子部分，設x0為h（x）的零點，求出g（x）的最小值g（x0），根據x0的性質和基本不等式得出g（x0）關于a的函數m（a），再根據m（a）的單調性求出m（a）的最小值即可得出結論．

（1）若，則，

.

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增.

的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由可知，，

當時，，顯然沒有零點；

當時，設，，在單調遞增，

又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，

∴h（x）在（0，2）上存在唯一一個零點，不妨設為x0，則x0a，

∴當x∈（0，x0）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，

即g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

∴g（x）的最小值為g（x0）alnx0，

∵x0a，∴﹣1，兩邊取對數可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，

∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（當且僅當x0＝1時取等號），

令m（a）＝a﹣alna，則m′（a）＝﹣lna，

∴當a∈（0，1）時，m′（a）＞0，當a∈（1，e]時，m′（a）＜0，

∴m（a）在（0，1）上單調遞增，在（1，e]上單調遞減．

∴當0＜a≤e時，m（a）≥0，當且僅當a＝e時取等號，

由x0a可知當a＝1時，x0＝1，故當a＝e時，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，

∴g（x0）＞0．

∴當0≤a≤e時，g（x）沒有零點．