Question

（本題滿分16分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分6分．

某同學將命題“在等差數列中，若，則有（）”改寫成：“在等差數列中，若，則有（）”，進而猜想：“在等差數列中，若，則有（）.”

（1）請你判斷以上同學的猜想是否正確，并說明理由；

（2）請你提出一個更一般的命題，使得上面這位同學猜想的命題是你所提出命題的特例，并給予證明.

（3）請類比（2）中所提出的命題，對于等比數列，請你寫出相應的命題，并給予證明.

Answer 1

解：（1）命題“在等差數列中，若，則有（）”正確.

證明：設等差數列的首項為，公差為，由得:

=，所以命題成立.   （4分）

（2）解法一：在等差數列中，若，則有（）.顯然，當時為以上某同學的猜想. （7分）

證明：設等差數列的首項為，公差為，由得，所以命題成立.              （10分）

（3）解法一：在等比數列中，

若，則有（）.（13分）

證明：設等比數列的首項為，公比為，由（）得，

，所以命題成立.（16分）

（2）解法二：在等差數列中，若，且

則有

（）.

顯然，當時為某同學的猜想（7分）

證明：設等差數列的首項為，公差為，由

，且

得

=

=

=，所以命題成立。                          （10分）

（3）解法二：在等比數列中，若，且

，則有

（）.      （13分）

證明：設等比數列的首項為，公比為，由

，且

得，

==，所以命題成立.       （16分）

得到以下一般命題不得分（）：

（1）在等差數列中，若，則有.

類比：在等比數列中，若，則有.

（2）在等差數列中，若，則有.

類比：在等比數列中，若，則有.

（3）在等差數列中若,,則有.

類比：在等比數列中，若，則有.

（4）在等差數列中，若，，則有.

類比：在等比數列中，若，，則有.