Question

已知圓O:交軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；

(3)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(shí)(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916115420704915/SYS201211191612558945156099_DA.files/image003.png">(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=－2,所以點(diǎn)Q(,4)

所以,又,所以,即,故直線與圓相切

（3）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí),直線與圓保持相切          

【解析】本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)．

(1)根據(jù)已知條件得到a,b的關(guān)系，進(jìn)而求解得到c=1，由此能得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線PQ的方程為：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用點(diǎn)O到直線PQ的距離，可證直線PQ與圓O相切．

（3）假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí),直線與圓保持相切，那么利用相切時(shí)斜率的關(guān)系得到坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)而證明