Question

已知函數在上不具有單調性．

（1）求實數的取值范圍；

（2）若是的導函數，設，試證明：對任意兩個不相等正數不等式恒成立

 

Answer 1

【答案】

（1），                  ………………（2分）

∵在上不具有單調性，∴在上有正也有負也有0，

即二次函數在上有零點        ………………（4分）

∵是對稱軸是，開口向上的拋物線，∴

的實數的取值范圍                           ………………（6分）

（2）由（1），

方法1：，

∵，∴，…………（8分）

設，

在是減函數，在增函數，當時，取最小值

∴從而，∴，函數是增函數，

是兩個不相等正數，不妨設，則

∴，∵，∴ 

∴，即      ………………（12分）

方法2： 、是曲線上任意兩相異點，

，，

  ………（8分）

設，令，，

由，得由得

在上是減函數，在上是增函數，

在處取極小值，，∴所以

即

【解析】略