Question

對正整數n，設拋物線y²=2（2n+1）x，過P（2n，0）任作直線l交拋物線于A_n，B_n兩點，則數列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項和公式是

 

．

Answer 1

分析：設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出

OAn

•

OBn

的表達式，然后利用韋達定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n²-4n，故可得

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，據此可得數列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項和．

解答：解：設直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，
設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
則

OAn

•

OBn

=xn1xn2+yn1yn2=(t2+1)yn1yn2+2nt(yn1+yn2)+4n2，
用韋達定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n(2n+1)(t2+1)+4n(2n+1)t2+4n2=-4n2-4n，
故

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，
故數列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n項和-n（n+1），
故答案為-n（n+1）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題的知識點，向量與圓錐曲線，數列結合時，一般使用向量的坐標運算與方程的根聯系起來，從而轉化為根與系數的關系．這是處理向量與圓錐曲線綜合問題的基本思路．