Question

已知函數，其中．

（1）若時，記存在使

成立，求實數的取值范圍；

（2）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴ ;⑵

【解析】

試題分析：⑴由已知先寫出，的解析式，然后根據函數的單調性與導函數的關系分別求出的最大值和的最小值，只要使得最大值大于最小值，就能保證題設的條件成立；⑵函數的解析式中含有參數，所以做關于函數解析式的討論時一定要討論參數的取值，本題關于參數分三種情況進行討論，利用導數討論函數的單調性，利用導數討論函數的最值，解題時注意要全面討論，不能漏解.

試題解析：（1）由已知得解得,

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增,

所以,                                3分

又顯然則在上是遞增函數，，所以,

存在使成立，實數的取值范圍是；            .6分

（2）解：，分類討論：

① 當時，,

所以在單調遞增，在單調遞減，在只有最小值沒有最大值,..8分

當，;

② 當時，令，得，，與的情況如下：

	↗		↘

故的單調減區間是，；單調增區間是．

當時，由上得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．又因為,

設為的零點，易知，且．從而時，；時，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．       .11分

③ 當時，與的情況如下：

	↘		↗

所以的單調增區間是；單調減區間是,

在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．又因為,

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是．                     14分

考點：利用導數討論函數的單調性，利用導數討論函數的最值.