Question

如圖，在三棱錐S ­ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.

求證：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.

Answer 1

見解析

證明(1)因為SA⊥平面EFGH，GH?平面EFGH，
所以SA⊥GH.
又因為SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB內，
所以AB∥GH.
因為AB?平面EFGH，GH?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
(2)因為AB∥平面EFGH，AB?平面ABC，
平面ABC∩平面EFGH＝EF，
所以AB∥EF.
又因為AB∥GH，所以GH∥EF.
(3)因為SA⊥平面EFGH，SA?平面SAC，
所以平面EFGH⊥平面SAC，交線為FG.
因為GH∥EF，EF⊥FG，所以GH⊥FG.
又因為GH?平面EFGH，
所以GH⊥平面SAC.