Question

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0），點P、Q在雙曲線的右支上，點M（m，0）到直線AP的距離為1，
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且|k|∈，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=+1時，△APQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)由條件得直線AP的方程y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0，
又因為點M到直線AP的距離為1，
所以，得，
∵，
∴，解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-，
∴m的取值范圍是。
(Ⅱ)可設雙曲線方程為，
由，得，
又因為M是ΔAPQ的內心，M到AP的距離為1，所以∠MAP=45°，
直線AM是∠PAQ的角平分線，且M到AQ、PQ的距離均為1，
因此，（不妨設P在第一象限）
直線PQ方程為，
直線AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐標是（2+，1+），
將P點坐標代入得，
所以所求雙曲線方程為，即。