Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，以為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點，點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用將曲線的極坐標方程為化為直角坐標方程。進而可得結果；（Ⅱ）先將直線極坐標方程化為直角坐標方程，再寫出其參數方程，代入曲線的直角坐標方程后，利用直線參數方程的幾何意義求解即可.

試題解析：（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為，

所以曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）由直線的極坐標方程，得，

所以直線的直角坐標方程為，又點在直線上，

所以直線的參數方程為： ，

代入的直角坐標方程得，

設， 對應的參數分別為，

則，

所以