Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；

（2）過點(diǎn)任作一條直線與圓交于不同兩點(diǎn)，，且圓交軸正半軸于點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）詳見解析

【解析】

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，列式子求解即可求出，即可得到切線方程；（2）設(shè)直線：，代入圓的方程，可得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，且，直線與的斜率之和為，代入根與系數(shù)關(guān)系整理可得到所求定值。

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然直線與圓相切

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，

圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，切線方程為：，

綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是或

（2）圓：與軸正半軸的交點(diǎn)為，依題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，代入圓：，

整理得：.

設(shè)，，且

∴，

∴直線與的斜率之和為

為定值.