Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，點E為線段PC的中點，點F在線段AB上．

（1）若AF= ，求證：CD⊥EF；
（2）設平面DEF與平面DPA所成二面角的平面角為θ，試確定點F的位置，使得cosθ= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PCD中，PD=CD=2，

∵E為PC的中點，∴DE平分∠PDC，∠PDE=60°，

∴在Rt△PDE中，DE=PDcos60°=1，

過E作EH⊥CD于H，則 ，連結FH，

∵ ，∴四邊形AFHD是矩形，

∴CD⊥FH，又CD⊥EH，FH∩EH=H，∴CD⊥平面EFH，

又EF平面EFH，∴CD⊥EF．

（2）解：∵AD=PD=2， ，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，

∴AD⊥平面PCD，

又AD平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD．

過D作DG⊥DC交PC于點G，則由平面PCD⊥平面ABCD知，DG⊥平面ABCD，

故DA，DC，DG兩兩垂直，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，

建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， ，

又知E為PC的中點，E ，設F（2，t，0），

則 ， ， ， ．

設平面DEF的法向量為 =（x1，y1，z1），

則 ，∴ ，

取z1=﹣2，得平面DEF的一個法向量 ，

設平面ADP的法向量為 =（x2，y2，z2），

則 ，∴ ，

取z2=1，得 ．

∴ ，解得 ，

∴當 時，滿足 ．

【解析】（1）過E作EH⊥CD于H，連結FH，推導出四邊形AFHD是矩形，由此能證明CD⊥F．（2）過D作DG⊥DC交PC于點G，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出當 時，滿足 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．