Question

（本小題滿分14分）如圖5，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

 (1) 求、及數列的通項公式；

 (2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；

 (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：N.

Answer 1

答案

（2）解：

            .                                               ……8分

（3）證明：.

                                                                      ……10分

      ∴，.

 要證明，只要證明，即只要證明。 11分

      證法1：（數學歸納法）

當時，顯然成立；

假設時，成立，

則當時，，

而.

∴.

∴.

這說明，時，不等式也成立.

由①②知不等式對一切N都成立.        ……14分

證法2:

           .

   ∴不等式對一切N都成立.        ……14分

證法3:令,

則,

當時, ,

∴函數在上單調遞增.

∴當時, .

∵N,

∴, 即.

∴.

∴不等式對一切N都成立.