Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間及極值；

（3）對成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞減區間為，單調遞增區間為,極小值為，無極大值；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由題意切點為,求導可得斜率,即可寫出切線方程；（2）對函數求導,判斷導函數的正負情況,寫出單調區間及極值；（3）對成立，即，構造函數

,求導分別對和分類討論,單調遞增舍去,時再按和分兩種情況分別研究單調性和最值,比較最值和的大小關系,求出的范圍．

試題解析：解：（1）由題意知的定義域為且，

又∵，

故切線方程為．

（2），

，

當時，則，

此時在上單調遞減．

當時，則，此時，

在上單調遞增．

故在單調遞減區間為，單調遞增區間為．

當時，取極小值，且極小值為-2，無極大值

（3）對成立，即，

令，

則當時，恒成立．

因為．

①當時，，在上單調遞增，故，

這與恒成立矛盾

②當時，二次方程的判別式，令，解得，此時在上單調遞減．

故，滿足恒成立．

由得，方程的兩根分別是

，其中，

當時，在上單調遞增，，

這與恒成立矛盾．

綜上可知：