Question

【題目】如圖，已知面垂直于圓柱底面， 為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點， ． 求證：

（1）；

（2）求幾何體的最大體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）根據面面垂直的判定定理，先證明BC⊥平面AA1C，再證得平面AA1C⊥平面BA1C；（2）由于是固定的，且,所以當C點到AB的距離最大時，幾何體的體積有最大值。

試題解析：（1）證明：因為C是底面圓周上異于A，B的一點，AB是底面圓的直徑，

所以AC⊥BC．

因為AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以AA1⊥BC，

而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．

又BC平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．

（2）解：在Rt△ABC中，當AB邊上的高最大時，三角形ABC面積最大，

此時AC=BC.

此時幾何體取得最大體積.

則由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得，

所以體積為 ．