Question

（本題滿分14分）如圖，平面平面，，為等邊三角形，，過作平面交、分別于點、．

（1）求證：；

（2） 設，求的值，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據條件中給出的平面平面，，因此可以考慮以點為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量來求證，從而只需求出平面的一個法向量，說明，即有，從而有平面，進而有；（2）由（1）建立的空間直角坐標系可知，問題等價于求得平面的一個法向量，滿足，通過空間向量的計算，易知可取，，從而解得．

試題解析：（1）如圖以點為原點建立空間直角坐標系，不妨設，，，則， ，，，，由，得

，，，是平面的一個法向量，且，故，又∵平面，即知平面，又∵，，，四點共面，∴；（2），，設平面的法向量，則，，可取，又∵是平面的一個法向量，由，以及可得，即，解得（負值舍去），故．

考點：立體幾何中的空間向量方法．