Question

如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（Ⅰ）當m=1時，求橢圓的方程及其右準線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，經過點F₂的直線l與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷拋物線C₁的準線與橢圓C₂的交點B₁、B₂與圓的位置關系；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）當m=1時，易知c=1，a=2，b=

3

；從而求橢圓方程及準線方程；
（Ⅱ）依題意設直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，與y²=4x聯立可得y²-4ky-4=0；不妨取B1 (-1，

3

2

)，可求得

B1A1

•

B1A2

≥0，故點B₁在圓上或圓外，故點B₁、B₂在圓上或圓外；
（Ⅲ）假設存在滿足條件的實數m，通過第二定義可知三角形PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m ， 

6

3

m ， 

7

3

m，從而求出m即可．

解答： 解：（Ⅰ）當m=1時，F₁（-1，0），F₂（1，0），
故c=1，又由離心率e=

1

2

知，
a=2，故b=

3

；
則橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
右準線方程為x=

a2

c

=4；
（Ⅱ）依題意設直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，
將x=ky+1代入y²=4x得，
y²-4ky-4=0．
設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），
由韋達定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
由橢圓和拋物線的對稱性，只要判斷B₁、B₂中一點即可．
不妨取B1 (-1，

3

2

)，
∵

B1A1

=(x1+1，y1-

3

2

)，

B1A2

=(x2+1，y2-

3

2

)，
∴

B1A1

•

B1A2

=（x₁+1）（x₂+1）+（y₁-

3

2

）（y₂-

3

2

）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂-

3

2

（y₁+y₂）+

9

4

=4k²-6k+

9

4

=4（k-

3

4

）²；
因為k∈R，于是

B1A1

•

B1A2

≥0，
即點B₁在圓上或圓外，故點B₁、B₂在圓上或圓外．
（Ⅲ）假設存在滿足條件的實數m，
由題設有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
有r₁+r₂=2a=4m；
設P（x₀，y₀），
對于拋物線C₁，r₂=x₀+m；
對于橢圓C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r2=

1

2

(4m-x0)．
由x0+m=

1

2

(4m-x0)解得，x0=

2

3

m，
∴r2=

5

3

m，從而 r1=

7

3

m．
因此，三角形PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m ， 

6

3

m ， 

7

3

m．
所以m=3時，能使三角形PF₁F₂的邊長是連續的自然數．

點評：本題考查了圓錐曲線的位置關系的應用，應用到了韋達定理及向量，化簡很困難，屬于難題．