Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C（0，c）任作一直線，與拋物線y=x²相交于AB兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l：y=-c交于P，Q，
（1）若

OA

•

OB

=2，求c的值；
（2）若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；
（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．

Answer 1

分析：（1）設過C點的直線的方程，與拋物線方程聯立設出A，B的坐標則

OA

和

OB

可分別表示出來，根據

OA

•

OB

=2求得-c-k²c+kc•k+c²=2，求得c．
（2）設過Q的切線方程，通過對拋物線方程求導求得切線的斜率，進而可表示出切線方程求得與y=-c的交點為M的坐標進而根據P為線段AB的中點，求求得Q點的坐標，根據x₁x₂=-c，進而可表示出M的坐標，判斷出以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．
（3）根據（2）可知點Q的坐標，根據PQ⊥x軸，推斷出點P的坐標，進而求得

x1+x2

2

=

k

2

，判斷出P為AB的中點．

解答：解：（1）設過C點的直線為y=kx+c，所以x²=kx+c（c＞0），即x²-kx-c=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

=（x₁，y₁），

OB

=(x2，y2)，
因為

OA

•

OB

=2，所以x₁x₂+y₁y₂=2，即x₁x₂+（kx₁+c）（kx₂+c）=2，x₁x₂+k²x₁x₂-kc（x₁+x₂）+c²=2
所以-c-k²c+kc•k+c²=2，即c²-c-2=0，
所以c=2（舍去c=-1）

（2）設過Q的切線為y-y₁=k₁（x-x₁），y^/=2x，所以k₁=2x₁，即y=2x₁x-2x₁²+y₁=2x₁x-x₁²，
它與y=-c的交點為M(

x1

2

-

c

2x1

，-c)，
又P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

k

2

，

k2

2

+c)，
所以Q(

k

2

，-c)，
因為x₁x₂=-c，所以-

c

x1

=x2，
所以M(

x1

2

+

x2

2

，-c)=(

k

2

，-c)，
所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線．

（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q(

k

2

，-c)，
因為PQ⊥x軸，所以P(

k

2

，yP)
因為

x1+x2

2

=

k

2

，所以P為AB的中點．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．