Question

證明：若f（x）對定義域內的任意x都有f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

（a≠0），則T=4a．

Answer 1

考點：函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：將已知中的x用x+a代替，得到f（x+a）═-

1

f(x)

，再將其中的x用x+a代替，得證．

解答： 證明：∵f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

（a≠0），
∴f（x+2a）=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4a）=-

1

f(x+a)

=f（x）
∴f（x）的周期為T=4a．

點評：本題考查函數周期性的定義，屬于一道基礎題，解決的關鍵是仿寫出其他的等式．