Question

數列{an}的前n項和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),則數列{an}的通項公式是_______.

 

Answer 1

an=3n-1

【解析】【思路點撥】根據an和Sn的關系轉換an+1=2Sn+1(n≥1)為an+1與an的關系或者Sn+1與Sn的關系.

解:方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).

又a2=2S1+1=3,

∴a2=3a1,故{an}是首項為1,公比為3的等比數列,

∴an=3n-1.

方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,

an+1=2Sn+1,

所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,

把這個關系化為Sn+1+=3(Sn+),

即得數列{Sn+}為首項是S1+=,

公比是3的等比數列,故Sn+=×3n-1=×3n,

故Sn=×3n-.

所以,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-1,

由n=1時a1=1也適合這個公式,知所求的數列{an}的通項公式是an=3n-1.

【方法技巧】an和Sn關系的應用技巧

在根據數列的通項an與前n項和的關系求解數列的通項公式時,要考慮兩個方面,一個是根據Sn+1-Sn=an+1把數列中的和轉化為數列的通項之間的關系;一個是根據an+1=Sn+1-Sn把數列中的通項轉化為前n項和的關系,先求Sn再求an.