Question

【題目】設(shè)函數(shù) （x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí)，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知有： =sin2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+1=（sinx﹣t）2+t2﹣6t+1，

由于x∈R，∴﹣1≤sinx≤1，

∴當(dāng)t＜﹣1時(shí)，則當(dāng)sinx=﹣1時(shí)，f（x）min=2t2﹣4t+2；

當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí)，則當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）min=t2﹣6t+1；

當(dāng)t＞1時(shí)，則當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）min=2t2﹣8t+2；

綜上，

（2）解：當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí)，g（t）=t2﹣6t+1，方程g（t）=kt即t2﹣6t+1=kt，

即方程t2﹣（k+6）t+1=0在區(qū)間[﹣1，1]有且僅有一個(gè)實(shí)根，

令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，則有：

①若△=（k+6）2﹣4=0，即k=﹣4或k=﹣8．

當(dāng)k=﹣4時(shí)，方程有重根t=1；當(dāng)k=﹣8時(shí)，c方程有重根t=﹣1，∴k=﹣4或k=﹣8．

② k＜﹣8或 k＞﹣4，

綜上，當(dāng)k∈（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞）時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt在區(qū)間[﹣1，1]有且僅有一個(gè)實(shí)根

【解析】（1）首先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而看當(dāng)t＜﹣1，﹣1≤t≤1和t＞1時(shí)時(shí)函數(shù)f（x）的最小值，進(jìn)而確定g（t）的解析式．（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí)函數(shù)g（t）的解析式，整理g（t）=kt得t2﹣（k+6）t+1=0問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[﹣1，1]有且僅有一個(gè)實(shí)根，先根據(jù)判別式等于0求得k的值，令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，進(jìn)而確定函數(shù)與x軸的軸有一個(gè)交點(diǎn)落在區(qū)間[﹣1，1]分別求得k的范圍，最后綜合可得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．