Question

已知函數f(x)=x-

1

x

，x∈（0，+∞）．
（1）用函數單調性的定義證明：f（x）在其定義域上是單調增函數；
（2）若f（3^x-2）＞f（9^x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義法證明單調性，按步驟：取，作差，判斷差的符號，得出結論，證明即可；
（2）由（1）函數是增函數，由此可將不等式f（3^x-2）＞f（9^x）轉化為3^x-2＞9^x，解此指數型不等式，求x的取值范圍

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞）．令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₁-x₂）×（1+

1

x1x2

）
∵x₁，x₂∈（0，+∞）．x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在其定義域上是單調增函數；
（2）由（1）證明知f（x）在其定義域上是單調增函數，又f（3^x-2）＞f（9^x），
∴3^x-2＞9^x，即3^x-2＞3^2x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范圍是x＜-2

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，解題的關鍵是熟練掌握定義法證明單調性的步驟及原理，能利用單調性靈活轉化不等式，達到化抽象不等式為具體不等式，解出不等式，本題考查了推理論證的能力及轉化化歸的能力，計算能力