Question

在長方形ABEF中，D，C分別是AF和BE的中點，M和N分別是AB和AC的中點，AF=2AB=2a，將平面DCEF沿著DC折起，使角∠ADF=90°，G是DF上一動點，求證：
（1）GN⊥AC
（2）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP∥平面FMC．并給出證明．

Answer 1

證明：（1）連接BD，如圖所示：
∵D，C分別是AF和BE的中點，AF=2AB=2a，
∴四邊形ABCD為邊長為a的正方形
又∵N為AC的中點，故N為正方形對角線AC與BD的交點
∴AC⊥BD
∵∠ADF=90°
∴FD⊥AD，
又∵FD⊥DC，AD∩CD=D
∴FD⊥平面ABCD
又∵AC?平面ABCD
∴AC⊥FD
∵BD∩FD=D
∴AC⊥平面BDF
∵G∈FD，
∴GN?平面BDF
∴GN⊥AC
（2）當P點與A點重合時，GP∥平面FMC，理由如下：
∵FG=GD時，G為FD的中點
連接正方形CDFE的對角線DE、CF交于O點，連接OG，GP，OM
則OG∥DC，且OG=DC，
由PM∥DC，且PM=DC，
則PM∥OG且PM=OG
則四邊形PMOG為平行四邊形
則PG∥OM，
又∵PG?平面FMC，OM?平面FMC，
∴PG∥平面FMC
分析：（1）連接BD，結合正方形的幾何特征有線面垂直的判定及性質定理，易得AC⊥BD且AC⊥FD，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDF，進而根據線面垂直的性質可得GN⊥AC；（2）連接正方形CDFE的對角線DE、CF交于O點，連接OG，GA，OM，由三角形中位線定理及M是AB的中點可得則AM∥OG且AM=OG，進而得到AG∥OM，由線面平行的判定定理，得到：AG∥平面FMC．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理及性質定理，是解答本題的關鍵．